Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+x^4 y=x^4 e^45 x^5 y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem com condição inicial
y'+x^4y = x^4e^45x^5, y(0)=1
O conteúdo é equação linear e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Identificamos a forma padrão y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=x^4. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral x^4,dx=e^tfracx^55

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por mu(x). O lado esquerdo vira derivada de ymu(x):
(y e^tfracx^55)'=x^4e^45x^5e^tfracx^55=x^4e^x^5
Agora integramos ambos os lados: faça u=x^5, du=5x^4dx, logo x^4dx=du/5. Temos
y e^tfracx^55=integral x^4e^x^5dx+C=tfrac15e^x^5+C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1: ao trocar x=0 na expressão acima,
1cdot e^0=tfrac15e^0+Cimplies 1=tfrac15+Cimplies C=tfrac45

Passo 5

Isolando y em
y e^tfracx^55=tfrac15e^x^5+tfrac45,
multiplicamos por e^-tfracx^55 para obter a solução final.

Passo 6

Obtemos então
y(x)=tfrac15e^x^5-tfracx^55+tfrac45e^-tfracx^55=tfrac15e^tfrac45x^5+tfrac45e^-tfracx^55

Resposta

y(x) = tfrac15e^tfrac45x^5+tfrac45e^-tfracx^55

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