Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ + 2y = 4 $. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui, $ P(x) = 2 $ e $ Q(x) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por um fator integrante, torne a equação mais fácil de resolver.
Passo 3
O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
Como $ P(x) = 2 $, a integral fica:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo que podemos integrar diretamente.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $. Isso simplifica nossa vida porque podemos integrar diretamente.
Passo 5
Reescrevemos a equação usando a derivada do produto:
Agora, para achar $ y $, basta integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 7
Para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{2x} $:
E pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da EDO $ y’ + 2y = 4 $ é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.