Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime+2 y=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’ + 2y = 4 $. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = 2 $ e $ Q(x) = 4 $. Nosso objetivo é encontrar uma função que, quando multiplicada por um fator integrante, torne a equação mais fácil de resolver.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Como $ P(x) = 2 $, a integral fica:
P(x) = 2
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original em algo que podemos integrar diretamente.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $. Isso simplifica nossa vida porque podemos integrar diretamente.

Passo 5

Reescrevemos a equação usando a derivada do produto:
ddx (e^2x y) = 4 e^2x
Agora, para achar $ y $, basta integrar ambos os lados em relação a $ x $:
y

Passo 6

Integrando ambos os lados:
e^2x y = 2 e^2x + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 7

Para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{2x} $:
y
E pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da EDO $ y’ + 2y = 4 $ é:
y' + 2y = 4
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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