Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
(a) rrd xd t=-x+y, d yd t=2 x x(0)=0, & y(0)=1
(b) cd^2 xd t^2+d xd t+d yd t=0, d^2 yd t^2+d yd t-4 d xd t=0, x(0)=1, x^prime(0)=0, y(0)=-1, y^prime(0)=5

Passo 1

Neste exercício vamos resolver dois sistemas de equações diferenciais acopladas usando a transformada de Laplace, que transforma derivadas em multiplicações por s no domínio de Laplace e incorpora condições iniciais por meio de Lf'(t)=sF(s)-f(0) e Lf''(t)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0).

Passo 2

Iniciando o item (a), aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação dxdt=-x+y com x(0)=0 e na segunda dydt=2x com y(0)=1. Obtemos o sistema algébrico
sX(s)-0=-X(s)+Y(s)implies(s+1)X(s)-Y(s)=0
sY(s)-1=2X(s)implies-2X(s)+sY(s)=1

Passo 3

Resolvendo esse sistema: da primeira equação temos Y(s)=(s+1)X(s). Substituindo em
-2X(s)+sY(s)=1
recebemos
-2X(s)+s(s+1)X(s)=1implies X(s)(s^2+s-2)=1implies X(s)=tfrac1(s-1)(s+2)
Fazendo frações parciais obtemos
X(s)=tfrac1/3s-1-tfrac1/3s+2
E então
Y(s)=(s+1)X(s)=tfrac132s-1+tfrac131s+2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo, usamos L^-11/(s-a)=e^at:
x(t)=tfrac13(e^t-e^-2t), y(t)=tfrac23e^t+tfrac13e^-2t

Passo 5

Para o item (b) aplicamos a transformada de Laplace nas equações
x''+x'+y'=0, y''+y'-4x'=0
com condições x(0)=1, x'(0)=0, y(0)=-1, y'(0)=5. Usando
Lx''=s^2X(s)-scdot1-0, Lx'=sX(s)-1, Ly'=sY(s)+1
e similarmente para y'', obtemos o sistema algébrico
(s^2+s)X(s)+sY(s)=s, -4sX(s)+(s^2+s)Y(s)=-s .

Passo 6

Resolvendo por regra de Cramer, o determinante principal é
D=s^2(s^2+2s+5)
Os numeradores levam a
X(s)=s+2(s+1)^2+4, Y(s)=3-s(s+1)^2+4=-s+1(s+1)^2+4+4(s+1)^2+4
Aplicando a inversa de Laplace com
L^-1s+1(s+1)^2+2^2=e^-tcos2t e L^-12(s+1)^2+2^2=e^-tsin2t, resulta
x(t)=e^-tcos2t+tfrac12e^-tsin2t, y(t)=-e^-tcos2t+2e^-tsin2t

Resposta

Para (a):
x(t)=tfrac13l(e^t-e^-2tr), y(t)=tfrac23e^t+tfrac13e^-2t
Para (b):
x(t)=e^-tcos2t+tfrac12e^-tsin2t, y(t)=-e^-tcos2t+2e^-tsin2t

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