Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
(a)
(b) cd^2 xd t^2+d xd t+d yd t=0, d^2 yd t^2+d yd t-4 d xd t=0, x(0)=1, x^prime(0)=0, y(0)=-1, y^prime(0)=5
Passo 1
Neste exercício vamos resolver dois sistemas de equações diferenciais acopladas usando a transformada de Laplace, que transforma derivadas em multiplicações por s no domínio de Laplace e incorpora condições iniciais por meio de Lf'(t)=sF(s)-f(0) e Lf''(t)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0).
Passo 2
Iniciando o item (a), aplicamos a transformada de Laplace na primeira equação dxdt=-x+y com x(0)=0 e na segunda dydt=2x com y(0)=1. Obtemos o sistema algébrico
sX(s)-0=-X(s)+Y(s)implies(s+1)X(s)-Y(s)=0
sY(s)-1=2X(s)implies-2X(s)+sY(s)=1
Passo 3
Resolvendo esse sistema: da primeira equação temos Y(s)=(s+1)X(s). Substituindo em