encontre a solução geral de cada EDO.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=6. (Dica: Faça y=z+3.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 2y' + 2y = 6
A dica sugere fazer y = z + 3 para eliminar o termo constante. Vamos usar essa substituição para obter uma equação homogênea em z e depois aplicar o método de coeficientes constantes.

Passo 2

Substituindo y = z+3 temos y' = z' e y'' = z'', então
y'' - 2y' + 2y = z'' - 2z' + 2(z+3) = (z'' - 2z' + 2z) + 6
Como isso deve ser igual a 6, cancelamos o termo constante e ficamos com
z'' - 2z' + 2z = 0,
que é uma EDO homogênea de segunda ordem.

Passo 3

Para resolver
z'' - 2z' + 2z = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0
As raízes são
r = 2 pm raiz4 - 82 = 1 pm i
Logo, a solução geral de z é
z(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Voltando à variável original com y = z + 3, obtemos
y(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr) + 3

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr) + 3

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