encontre a solução geral de cada EDO.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=5. (Dica: Faça y=z+1.)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 5
e sugere a mudança de variável y = z + 1 para eliminar o termo constante, reduzindo o problema a uma EDO homogênea.

Passo 2

Fazendo y = z + 1 temos
y' = z', y'' = z'',
e substituindo em y'' - 2y' + 5y = 5 obtemos
z'' - 2z' + 5(z + 1) = 5 Longrightarrow z'' - 2z' + 5z + 5 = 5 Longrightarrow z'' - 2z' + 5z = 0

Passo 3

A equação homogênea em z é
z'' - 2z' + 5z = 0
cuja equação característica é
r^2 - 2r + 5 = 0
O discriminante é De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot5 = -16, de modo que as raízes são
r = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas , a solução geral de é
onde e ãá

Passo 5

Voltando à variável original, y = z + 1, temos
y(x) = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) + 1

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) + 1

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