Fatore:
(h) 16 x^4-x^2 y^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
16x^4-x^2y^2+y^4,
que é homogêneo de grau 4 em x,y. O conteúdo é fatoração de polinômios e vamos procurar escrevê-lo como produto de dois quadráticos em x,y.

Passo 2

Suponhamos que exista uma fatoração da forma
(px^2+q,x y+r,y^2)(s,x^2+t,x y+u,y^2)
Ao expandir temos
(px^2+qxy+ry^2)(sx^2+txy+uy^2) =ps,x^4+(pt+qs),x^3y+(pu+qt+rs),x^2y^2+(qu+rt),xy^3+ru,y^4

Passo 3

Igualando aos coeficientes de 16x^4-x^2y^2+y^4 obtemos o sistema
ps=16, pt+qs=0, pu+qt+rs=-1, qu+rt=0, ru=1

Passo 4

Da última equação ru=1 segue r=u=1 (buscando coeficientes inteiros). Então qu+rt=q+t=0 implica t=-q, e pt+qs= q(s-p)=0 leva a s=p. Substituindo em ps=16 p^2=16 e assim p=s=4. Em seguida
pu+qt+rs=4cdot1 + q(-q) + 1cdot4 = 8 - q^2 = -1
implica q^2=9, logo q=pm3.

Passo 5

Escolhendo q=3 (o caso q=-3 apenas troca os fatores), obtemos a fatoração
(4x^2+3xy+y^2)(4x^2-3xy+y^2),
cuja expansão reconstrói exatamente 16x^4-x^2y^2+y^4.

Resposta

16x^4-x^2y^2+y^4 = (4x^2+3xy+y^2)(4x^2-3xy+y^2)

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