encontre a solução geral de cada EDO.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=-8. (Dica: Faça y=z-2.)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = -8,
e sugere a mudança de variável y = z - 2. Vamos usar este artifício para transformar a equação numa homogênea.

Passo 2

Fazendo y = z - 2 temos
y' = z' e y'' = z''. Substituindo na EDO:
z'' - 4z' + 4,(z - 2) ;=; -8
Distribuindo o 4:
z'' - 4z' + 4z - 8 = -8
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z'' - 4z' + 4z = 0

Passo 3

A equação para z é homogênea e de coeficientes constantes. A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo
r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2 = 0
obtém-se raiz dupla r=2. Portanto a solução geral de z é
z(x) = C1e^2x + C2,x,e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Voltando à variável original, y = z - 2, temos
y(x) = l(C1e^2x + C2,x,e^2xr) - 2

Resposta

y(x) = C1e^2x + C2x,e^2x - 2

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