1^ a Questão: . Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
y=u sen(u), u=x^2, d yd x e(d yd x)(xn=raizp);

Passo 1

O enunciado define y em função de u e u em função de x, a saber
y = u,sen(u), u = x^2,
e pede a derivada dydx e seu valor em xn = raizp. Vamos usar a regra da cadeia:
dydx = dydu,dudx

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais:
dydu = ddul(u,sen(u)r) = sen(u) + ucos(u),
dudx = ddxl(x^2r) = 2x
Aplicando a regra da cadeia:
dydx = l(sen(u) + ucos(u)r),l(2xr) = 2x,sen(u) + 2x,ucos(u)
Como u = x^2, temos
dydx = 2x,sen(x^2) + 2x,(x^2)cos(x^2) = 2x,sen(x^2) + 2x^3cos(x^2)

Passo 3

Agora avaliamos em xn = raizp:
(dydx)xn=raizp = 2raizp,senl((raizp)^2r) + 2(raizp)^3cosl((raizp)^2r)
Como (raizp)^2 = p e (raizp)^3 = praizp, obtemos
(dydx)xn=raizp = 2raizp,sen(p) + 2praizp,cos(p) = 2raizp,l(sen(p) + pcos(p)r)

Resposta

dydx = 2x,sen(x^2) + 2x^3cos(x^2), (dydx)xn=raizp = 2raizp,l(sen(p) + pcos(p)r)

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