Sabendo que u+v+w=0,|u|=3 / 2,|v|=1 / 2 e |w|=3, calcule u bul<=t v+v bul<=t u+u bul<=t u

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w tais que
u+v+w=0,
e conhece as normas |u|=tfrac32, |v|=tfrac12, |w|=3.
Queremos calcular
ubul<=tv+vbul<=tu+ubul<=tu
Para isso usaremos propriedades do produto escalar: comutatividade ubul<=tv=vbul<=tu, bilinearidade e a relação |x|^2=xbul<=tx.

Passo 2

Da soma u+v+w=0 segue
w = -,u-v
Tomando norma ao quadrado e usando linearidade do produto escalar,
|w|^2 = (-u-v)bul<=t(-u-v) = ubul<=tu + vbul<=tv + 2,ubul<=tv

Passo 3

Substituindo |w|^2=3^2=9, |u|^2=(tfrac32)^2=tfrac94 e |v|^2=(tfrac12)^2=tfrac14, obtemos
9 = tfrac94 + tfrac14 + 2,(ubul<=tv) Longrightarrow 2,(ubul<=tv) = 9 - tfrac104 = tfrac264
portanto
ubul<=tv = tfrac268 = tfrac134

Passo 4

O valor pedido é
ubul<=tv+vbul<=tu+ubul<=tu =2,(ubul<=tv) + |u|^2 =2!cdot!tfrac134 + tfrac94

Passo 5

Calculando
2!cdot!tfrac134 + tfrac94 = tfrac264 + tfrac94 = tfrac354

Resposta

354

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