Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
x y y^prime+y^22=sen(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y,y' + y^22 = sen(x)
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar escrever em forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e checar partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial:
x,y,dydx + y^22 - sen(x) = 0 ;Longrightarrow; l(y^22-sen(x)r),dx + x,y,dy = 0
Aqui temos
M(x,y)=y^22-sen(x), N(x,y)=x,y
Calculamos
partial Mpartial y=y, partial Npartial x=y,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M e partial psipartial y=N
Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(y^22-sen(x)r),dx =x,y^22+cos(x)+h(y)
Depois impomos partialpsi/partial y=N:
partial psipartial y =x,y + h'(y) ;=;x,y ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante

Passo 4

Como h é constante, a solução geral implícita fica
psi(x,y)=x,y^22+cos(x)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x,y^22+cos(x)=C

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