Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^prime=4 y / x+x raizx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
y'=4xy + xraizx
Note que aqui o termo independente de y permite tratar como uma equação linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos no formato padrão de equação linear
y' + P(x)y = Q(x),
ficando
$$y’ - \frac{4}{x}y = x\sqrt{x} = x^{3/2}.
y' - 4xy = xraizx = x^3/2 P(x) = -\frac{4}{x},$$
P(x) = -4x,

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -4x dx = e^-4ln|x| = x^-4

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto:
x^-4y' - 4x^-5y = x^-4,x^3/2 = x^-5/2,
o que equivale a
ddxl(x^-4yr) = x^-5/2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^-4y = integral x^-5/2dx = -23x^-3/2 + C

Passo 6

Por fim isolamos y:
y = x^4l(-tfrac23x^-3/2 + Cr) = -tfrac23x^5/2 + Cx^4

Resposta

y(x)=Cx^4 - tfrac23x^5/2

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