Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
integral-3^3(t^6-3 t) d t

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida
integral-3^3l(t^6-3tr),dt
Esse assunto é integral definida de polinômios. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e, pra simplificar, a paridade das funções.

Passo 2

Note que t^6 é uma função par e -3t é ímpar. Em intervalos simétricos:
  • A integral de uma função ímpar é zero, então
integral-3^3(-3t),dt = 0
  • A integral de uma função par satisfaz
integral-3^3t^6,dt = 2integral0^3t^6,dt

Passo 3

Agora calcula a parte par: precisamos de integral0^3t^6,dt. A antiderivada de t^6 é tfract^77. Logo:
integral0^3t^6,dt = [t^77]0^3 = 3^77 = 21877

Passo 4

Juntando tudo, a integral original vale
integral-3^3(t^6 - 3t),dt = 2cdot21877 + 0 = 43747

Resposta

\tfrac{4374}{7}

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