Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo é resolução de equações diferenciais não exatas por fator integrante. Vamos reescrever em forma diferencial
e buscar um fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Reescrevendo
identificamos
Verificamos que
e
, logo não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. A condição é
Integramos
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora é exata, pois
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integramos
em
, tratando
como constante:
Derivando em
:
que deve igualar
. Logo
,
é constante.
Passo 6
A solução implícita é
Isolando
:
Resposta
com
constante arbitrária.