Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x e^y y^prime=2(e^y+x^3 e^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x e^y,dydx=2l(e^y+x^3e^2xr)
O conteúdo é resolução de equações diferenciais não exatas por fator integrante. Vamos reescrever em forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e buscar um fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Reescrevendo
x e^y,dy-2l(e^y+x^3e^2xr),dx=0
identificamos
M(x,y)=-2e^y-2x^3e^2x, N(x,y)=x e^y
Verificamos que partial M/partial y=-2e^y e partial N/partial x=e^y, logo não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). A condição é
dmu/dxmu =My-NxN =-2e^y-e^yx e^y =-3x
Integramos
lnmu=-3ln x Longrightarrow mu(x)=x^-3

Passo 4

Multiplicando a equação original por x^-3 obtemos
l(-2x^-3e^y-2e^2xr),dx +l(x^-2e^yr),dy=0
Agora é exata, pois
partial/partial yl(-2x^-3e^y-2e^2xr) =partial/partial xl(x^-2e^yr)=-2x^-3e^y

Passo 5

Existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =-2x^-3e^y-2e^2x, partialpsipartial y =x^-2e^y
Integramos psix em x, tratando y como constante:
psi(x,y) =integrall(-2x^-3e^yr)dx +integrall(-2e^2xr)dx =e^yx^-2-e^2x+h(y)
Derivando em y:
psiy=e^yx^-2+h'(y),
que deve igualar x^-2e^y. Logo h'(y)=0, h é constante.

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y)=e^yx^-2-e^2x=C
Isolando y:
e^y=x^2l(e^2x+Cr),
y=ln!l[x^2l(e^2x+Cr)r]

Resposta

y(x)=ln!l[x^2l(e^2x+Cr)r],
com C constante arbitrária.

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