Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre, sem achar explicitamente os coeficientes, a expressão da soluçāo geral da equaçāo

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = e^t(t^2+1)sin(2t) ;+; 3e^-tcos t ;+; 4t,e^-t ;+; t^2
O método é o de coeficientes a determinar: escrevemos
y(t)=yc(t)+yp(t),
onde yc é a solução complementar (da homogênea) e yp é a soma de palpite para cada termo do lado direito.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
r^2+3r+2=0;Longrightarrow;(r+1)(r+2)=0;Longrightarrow;r=-1,,-2
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yc(t)=C1e^-t+C2e^-2t

Passo 3

Para g1(t)=e^t(t^2+1)sin(2t) usamos o palpite
yp1(t)=e^tl[(A,t^2+B,t+C)sin(2t)+(D,t^2+E,t+F)cos(2t)r]
Aqui não há ressonância porque 1pm2i não são raízes de r^2+3r+2.

Passo 4

Para g2(t)=3e^-tcos t tomamos
yp2(t)=e^-tl(Gsin t + Hcos tr)
Também não há ressonância com as raízes -1,,-2.

Passo 5

Para g3(t)=4t,e^-t o termo exponencial corresponde a r=-1, que é raiz simples da homogênea, então multiplicamos o palpite habitual por t. Assim
yp3(t)=t,e^-tl(I,t + Jr) = e^-tl(I,t^2+J,tr)

Passo 6

Para g4(t)=t^2 (polinômio de grau 2 e exponencial e^0t) o palpite é só um polinômio de grau 2 sem fator extra:
yp4(t)=K,t^2+L,t+M

Passo 7

O palpite completo é
yp(t)=yp1(t)+yp2(t)+yp3(t)+yp4(t),
com os coeficientes A,B,dots,M a ajustar (mas nós não os calculamos explicitamente).

Resposta

boxedy(t)=C1e^-t+C2e^-2t ;+; e^tl[(A,t^2+B,t+C)sin(2t)+(D,t^2+E,t+F)cos(2t)r] ;+; e^-tl(Gsin t + Hcos t + I,t^2+J,tr) ;+; K,t^2+L,t+M

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