( pontos) Verdadeiro ou falso, justifique:
a) Se x^2 <= 16, então -4 <= x <= 4;
b) Se x^2 <= 16, então x <=-4;
c) Se x^2 >= 16, então x <=-4;
d) Se 0<x<y, então x^2<y^2.

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro implicações envolvendo desigualdades com quadrados de números reais. O conteúdo envolvido é a relação entre x^2 e lvert xrvert (isto é, x^2<= a^2iff lvert xrvert<= a), além de propriedades da função quadrado em números não negativos. Vamos checar cada item usando essas ideias.

Passo 2

Para (a): “Se x^2<= 16, então -4<= x<= 4.”
Como x^2<= 16 equivale a lvert xrvert<= 4, isto significa exatamente
-4<= x<= 4
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Para (b): “Se x^2<= 16, então x<= -4.”
Já vimos que x^2<= 16 implica -4<= x<= 4, então não é verdade que sempre x<= -4. Por exemplo, se x=0 temos 0^2=0<=16, mas 0not<= -4.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Para (c): “Se x^2>= 16, então x<= -4.”
Da relação x^2>= 16 segue lvert xrvert>= 4, ou seja, x<= -4 ou x>= 4. Nem sempre x<= -4 (pode ser x>=4). Por exemplo, x=5 5^2=25>=16, mas 5not<=-4.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Para (d): “Se 0<x<y, então x^2<y^2.”
Como a função f(t)=t^2 é estritamente crescente para t>=0, de 0<x<y segue
x^2<y^2
Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeiro.
b) Falso.
c) Falso.
d) Verdadeiro.

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