Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O método é: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo, e (iii) somar as duas.
Passo 2
Para a parte homogênea escrevemos a equação característica
e resolvemos:
ou seja
e
. Logo,
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, por superposição procuramos
sendo
para o polinômio
e
para o exponencial
.
Passo 4
Tentamos
. Então
e ao substituir em
vem
Comparando coeficientes:
Logo
Passo 5
Para o termo
há ressonância (pois
é raiz da característica), então escolhemos
Calculamos
e substituímos em
:
Assim
dá
, de modo que
Passo 6
A solução geral é
Resposta
com
constantes arbitrárias.