Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime-y=2 t-3 e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2,y''+y'-y = 2,t - 3,e^-t
O método é: (i) resolver a equação homogênea associada, (ii) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo, e (iii) somar as duas.

Passo 2

Para a parte homogênea escrevemos a equação característica
2r^2 + r - 1 = 0
e resolvemos:
r = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,
ou seja r1 = tfrac12 e r2 = -1. Logo,
yh(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2t - 3e^-t, por superposição procuramos
yp(t) = yp1(t) + yp2(t),
sendo yp1 para o polinômio 2t e yp2 para o exponencial -3e^-t.

Passo 4

Tentamos yp1(t)=A,t+B. Então
yp1' = A, yp1''=0,
e ao substituir em 2y''+y'-y = 2t vem
0cdot2 + A - (A,t+B) = -A,t + (A - B) equiv 2t
Comparando coeficientes:
-A = 2 implies A=-2, A - B = 0 implies B=-2
Logo
yp1(t) = -2t -2

Passo 5

Para o termo -3e^-t há ressonância (pois r=-1 é raiz da característica), então escolhemos
yp2(t)=C,t,e^-t
Calculamos
yp2' = C(1 - t)e^-t, yp2'' = C(t - 2)e^-t,
e substituímos em 2y''+y'-y = -3e^-t:
2C(t-2)e^-t + C(1 - t)e^-t - C,t,e^-t = -3C,e^-t equiv -3,e^-t
Assim -3C = -3 C=1, de modo que
yp2(t) = t,e^-t

Passo 6

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t -2t -2 + t,e^-t

Resposta

y(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t - 2t - 2 + t,e^-t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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