Encontre a solução geral de cada equação:
2 x y y^prime+x=y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2x,y,y' + x = y^2,
onde y'=dy/dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que 2x,y,y'=d(y^2)/dx, o que transforma a equação numa equação linear em z=y^2. Em seguida, usaremos fator integrante para resolver.

Passo 2

Escrevendo z = y^2 temos
dzdx = 2y,dydx
Logo, a equação original
2x,y,dydx + x = y^2
fica
x,dzdx + x = z
Passando tudo para o lado esquerdo e dividindo por x (supondo xneq0), obtemos
dzdx - 1xz = -1

Passo 3

Esta é uma equação linear na forma
dzdx + P(x),z = Q(x),
com P(x)=-1/x e Q(x)=-1. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral(-1/x),dx = e^-ln|x| = 1x
Multiplicando a equação por mu(x), vem
1x,dzdx - 1x^2z = -1x,
que é
ddxl(zxr) = -1x

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
zx = -integral 1x,dx + C = -ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Portanto
z = y^2 = xl(C - ln|x|r)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy^2 = xl(C - ln|x|r),
com C constante arbitrária.

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