Encontre a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Maclaurin de
e seu raio de convergência. O conteúdo principal é a aplicação da série binomial generalizada para expoente fracionário, que dá a expansão de
em potências de
.
Passo 2
Para usar a série binomial, primeiro fatoramos
em evidência no radical:
Como
, segue
Passo 3
Recordando a série binomial generalizada: para
e qualquer
,
onde
Passo 4
Aplicando com
e
, obtemos
Multiplicando por
, a série de Maclaurin de
fica
Passo 5
A convergência da série binomial exige
, ou seja
Logo o raio de convergência é