Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
f(x)=1 / raiz[4]16-x

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin de
f(x)=1raiz[4]16-x
e seu raio de convergência. O conteúdo principal é a aplicação da série binomial generalizada para expoente fracionário, que dá a expansão de (1-t)^alpha em potências de t.

Passo 2

Para usar a série binomial, primeiro fatoramos 16 em evidência no radical:
f(x) =l(16-xr)^-tfrac14 =l(16(1-tfracx16)r)^-tfrac14 =16^-tfrac14,(1-tfracx16)^-tfrac14
Como 16^-tfrac14=(2^4)^-tfrac14=2^-1=tfrac12, segue
f(x)=tfrac12,(1-tfracx16)^-tfrac14

Passo 3

Recordando a série binomial generalizada: para lvert trvert<1 e qualquer alpha,
(1-t)^alpha =sumn=0^inftybinomalphan(-t)^n,
onde
binomalphan =alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 4

Aplicando com alpha=-tfrac14 e t=tfracx16, obtemos
(1-tfracx16)^-tfrac14 =sumn=0^inftybinom-tfrac14nl(-tfracx16r)^n
Multiplicando por tfrac12, a série de Maclaurin de f(x) fica
f(x) =12sumn=0^inftybinom-tfrac14n(-1)^nl(x16r)^n

Passo 5

A convergência da série binomial exige lverttfracx16rvert<1, ou seja
|x|<16
Logo o raio de convergência é
R=16

Resposta

f(x) =12sumn=0^inftybinom-tfrac14n(-1)^nl(x16r)^n, R=16

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