Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
an=tan 2 n pi1+8 n

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da sequência
an = tan!l(2npi1+8nr)
e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo aplicado envolve limites de sequência, simplificação de expressões em n e continuidade da função tan em pontos onde cos não se anula.

Passo 2

Para estudar o limite, primeiro analisamos o argumento de tan. Definimos
xn = 2npi1+8n
Podemos reescrever
xn = 2n8n+1,pi
Como ntoinfty, tem-se 2n8n+1to28. Logo,
limntoinfty xn = 28,pi = pi4

Passo 3

A função tan(x) é contínua em quaisquer pontos onde cos(x)neq 0. Em particular, em x=pi4 temos
cos!l(pi4r)=raiz22neq 0,
garantindo continuidade de tan nesse ponto.

Passo 4

Pelo Teorema da continuidade, o limite da composição é a composição dos limites. Portanto,
limntoinfty an = limntoinfty tan(xn) = tan!l(limntoinfty xnr) = tan!l(pi4r) = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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