Resolva cada um dos problemas de valor inicial dados nos itens seguintes.
y^(3)+10 y "+25 y^prime=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=4, y^prime prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a EDO
y^(3) + 10,y'' + 25,y' = 0,
com as condições y(0)=3, y'(0)=4 e y''(0)=5. O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Formamos a equação característica associada
r^3 + 10,r^2 + 25,r = 0,
resolvendo-a para encontrar os valores de r.

Passo 3

Fatorando r obtemos
r,(r^2 + 10,r + 25) = 0 Longrightarrow r,(r+5)^2 = 0,
logo as raízes são r=0 e r=-5 (multiplicidade 2). Isso gera a solução geral
y(x) = C1 + C2 e^-5x + C3,x,e^-5x

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x) = -5C2 e^-5x + C3 e^-5x - 5C3 x e^-5x,
y''(x) = -5(-5C2 + C3)e^-5x -5C3 e^-5x + 25C3 x e^-5x = l(25C2 -10C3r)e^-5x +25C3 x e^-5x
Em x=0 as condições iniciais viram
y(0)=C1 + C2 = 3, y'(0) = -5C2 + C3 = 4, y''(0) = 25C2 -10C3 = 5

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3, -5C2 + C3 = 4, 25C2 -10C3 = 5,
obtemos
C2 = -tfrac95, C3 = -5, C1 = tfrac245

Resposta

y(x) = 245 ;-;95,e^-5x;-;5,x,e^-5x

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