5 ^a Questão: Encontre as equações das retas tangentes à curva x^2 y^2+x y=2 que são paralelas à reta y=-x+8.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à curva
x^2y^2 + x y = 2
que sejam paralelas à reta y=-x+8. O conteúdo principal é diferenciação implícita para obter tfracdydx e depois igualar essa derivada ao coeficiente angular da reta dada, que é -1.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
x^2y^2 + x y = 2
em relação a x, temos
ddx(x^2y^2) + ddx(x y) = 0
Usando o produto e a regra da cadeia:
ddx(x^2y^2) = 2x,y^2 + x^2cdot 2y,dydx,
ddx(x y) = y + x,dydx
Somando e igualando a zero:
2x,y^2 + 2x^2y,dydx + y + x,dydx = 0
Agrupando os termos com dydx:
l(2x^2y + xr)dydx + (2x,y^2 + y) = 0
dydx = -2x,y^2 + y2x^2y + x = -y(2xy +1)x(2xy +1) = -yx

Passo 3

Queremos reta tangente com coeficiente angular -1, ou seja,
dydx = -1
Como dydx = -tfracyx, impõe-se
-yx = -1 Longrightarrow yx = 1 Longrightarrow y = x

Passo 4

Substituindo y = x na equação da curva:
x^2,x^2 + xcdot x = 2 Longrightarrow x^4 + x^2 -2 = 0
Fazendo t = x^2, temos
t^2 + t -2 = 0 Longrightarrow t = 1 ou t = -2
Como t = x^2>=0, fica x^2=1, logo x = pm1. Assim os pontos de tangência são (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Para cada ponto, a reta tangente tem coeficiente -1. Usando a forma ponto‐inclinação y - y0 = m(x - x0):
  • Em (1,1):
y - 1 = -1,(x - 1) Longrightarrow y = -x + 2
  • Em (-1,-1):
y + 1 = -1,(x + 1) Longrightarrow y = -x - 2

Resposta

As retas tangentes são
y = -x + 2 e y = -x - 2

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