Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada e determine a solução que satisfaz as condições iniciais.
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=1,

Passo 1

O enunciado pede para verificar que funções do tipo exponencial são soluções da EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e, em seguida, determinar a solução que satisfaz as condições iniciais. O conteúdo da matéria envolve EDOs lineares homogêneas e a técnica de equação característica.

Passo 2

Começamos montando a equação característica associada à EDO. Para a equação
r^2 + 5r + 6 = 0
resolvemos para r de forma a encontrar as raízes que vão determinar as soluções fundamentais.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 5r + 6 = (r+2)(r+3) = 0
obtemos as raízes r_1 = -2 e r_2 = -3. Dessa forma, as funções
y1(x) = e^-2x,
y2(x) = e^-3x
são soluções fundamentais da EDO. Para verificar que cada y_i é solução, basta calcular
y1'' + 5y1' + 6y1
e
y2'' + 5y2' + 6y2
e ver que ambos se anulam. Isso confirma y_1 e y_2.

Passo 4

A solução geral da EDO é combinação linear das soluções fundamentais:
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 5

Agora, calculamos y’(x):
y'(x) = -2C1 e^-2x - 3C2 e^-3x

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=1:
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0) = -2C1 - 3C2 = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, -2C1 - 3C2 = 1,
obtemos C_1 = 4 e C_2 = -3. Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = 4e^-2x - 3e^-3x

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