Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine a solução que satisfaz as condições iniciais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que funções do tipo exponencial são soluções da EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e, em seguida, determinar a solução que satisfaz as condições iniciais. O conteúdo da matéria envolve EDOs lineares homogêneas e a técnica de equação característica.
Passo 2
Começamos montando a equação característica associada à EDO. Para a equação
resolvemos para r de forma a encontrar as raízes que vão determinar as soluções fundamentais.
Passo 3
Resolvendo
obtemos as raízes r_1 = -2 e r_2 = -3. Dessa forma, as funções
são soluções fundamentais da EDO. Para verificar que cada y_i é solução, basta calcular
e
e ver que ambos se anulam. Isso confirma y_1 e y_2.
Passo 4
A solução geral da EDO é combinação linear das soluções fundamentais:
Passo 5
Agora, calculamos y’(x):
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=1:
Passo 7
Resolvendo o sistema
obtemos C_1 = 4 e C_2 = -3. Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, chegamos à solução que satisfaz as condições iniciais.