Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
ou seja, uma ODE em que a derivada aparece dentro de um logaritmo. Vamos usar uma substituição p = y’ e reconhecer que a relação entre y, x e p assume a forma de uma equação de Clairaut.
Passo 2
Fazendo a substituição
, temos
Exponenciando para isolar
Passo 3
Vamos derivar a expressão
em relação a
. Como
, aplica-se a regra da cadeia e a regra do produto:
Passo 4
Igualamos ao lado esquerdo (
) e simplificamos:
Isso leva a duas possibilidades:
Passo 5
Caso 1:
implica
, constante. Então
Voltando à ODE original,
com
parâmetro livre.
Passo 6
Caso 2:
dá
, o que exige
, e
. Integrando:
Para verificar no ODE, note que
$$y - x y’ = x\ln(-x) - x - x\ln(-x) = -x + C,
Resposta
A família geral de soluções (Clairaut) é
com parâmetro