Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais:
y^prime=ln (y-x y^prime).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = lnl(y - x,y'r),
ou seja, uma ODE em que a derivada aparece dentro de um logaritmo. Vamos usar uma substituição p = y’ e reconhecer que a relação entre y, x e p assume a forma de uma equação de Clairaut.

Passo 2

Fazendo a substituição p = y', temos
p = lnl(y - x pr)
Exponenciando para isolar y:
e^p = y - x p Longrightarrow y = e^p + x p

Passo 3

Vamos derivar a expressão y = e^p + x p em relação a x. Como p = p(x), aplica-se a regra da cadeia e a regra do produto:
dydx = p = ddxl(e^pr) + ddx(x p) = e^pdpdx + p + xdpdx

Passo 4

Igualamos ao lado esquerdo ( p) e simplificamos:
p = p + l(e^p + xr)dpdx Longrightarrow 0 = l(e^p + xr)dpdx
Isso leva a duas possibilidades: dp/dx = 0 ou e^p + x = 0.

Passo 5

Caso 1: dp/dx = 0 implica p = a, constante. Então
y' = a Longrightarrow y = a x + b
Voltando à ODE original, y - x y' = a x + b - a x = b e deve satisfazer y' = ln(b), ou seja, a = ln(b). Isso fixa b = e^a. Logo, a solução geral (família de retas) é
y = a x + e^a,
com a parâmetro livre.

Passo 6

Caso 2: e^p + x = 0 e^p = -x, o que exige x<0, e p = y' = ln(-x). Integrando:
y = integral ln(-x),dx = xln(-x) - x + C
Para verificar no ODE, note que
$$y - x y’ = x\ln(-x) - x - x\ln(-x) = -x + C,
y - x y' = xln(-x) - x - xln(-x) = -x + C, çãéy = x\ln(-x) - x, \quad x<0.$$

Resposta

A família geral de soluções (Clairaut) é
y = C,x + e^C,
com parâmetro CinR, e existe a solução singular (envoltória):
y = xln(-x) - x, x<0

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