A substituição
transforma a EDO de segunda ordem da forma
na EDO de primeira ordem dada por
. Se a equação em
puder ser resolvida, a equação em
também será resolvida, integrando-se a solução
.
Utilize o método acima para resolver as equações diferenciais abaixo.
.
Utilize o método acima para resolver as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
A questão pede para resolver a EDO de segunda ordem
2 x^{2} y’’ + (y’)^{3} = 2 x y’, x>0
utilizando a substituição v = y’. O conteúdo principal envolvido é a redução de ordem de EDO e a resolução de uma equação de Bernoulli, seguido de integração para obter y.
2 x^{2} y’’ + (y’)^{3} = 2 x y’, x>0
utilizando a substituição v = y’. O conteúdo principal envolvido é a redução de ordem de EDO e a resolução de uma equação de Bernoulli, seguido de integração para obter y.
Passo 2
Fazendo v = y’ temos v’ = y’’ e substituímos na EDO:
2 x^{2} v’ + v^{3} = 2 x v
Dividindo por 2 x^{2} obtemos a EDO de primeira ordem em v:
2 x^{2} v’ + v^{3} = 2 x v
Dividindo por 2 x^{2} obtemos a EDO de primeira ordem em v:
Passo 3
Reescrevemos em forma padrão de Bernoulli:
Esta é uma equação de Bernoulli com expoente n = 3. Fazemos a troca u = v^{1-n} = v^{-2}. Calculamos:
$$u = v^{-2},
\quad \frac{du}{dx} = -2 v^{-3}\frac{dv}{dx}.$$
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da EDO original em v por -2 v^{-3} para obter uma equação linear em u:
Ou seja:
O fator integrante é
Multiplicando:
Integramos:
Logo
Passo 5
Voltando a v, como u = v^{-2}, temos
Logo
portanto
onde C_{1} é constante arbitrária.
Passo 6
Agora integramos y’ = v para achar y. Tomando o sinal ± e outra constante C_{2} de integração:
Fazendo t = x + C_{1} ⇒ x = t - C_{1}, dx = dt:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x + C_{1}}},dx = \int \frac{t - C_{1}}{\sqrt{t}},dt
= \int t^{1/2},dt - C_{1}\int t^{-1/2},dt
= \frac{2}{3}t^{3/2} - 2 C_{1}t^{1/2} + C_{3}.
y = \pm\Bigl(\frac{2}{3}(x + C_{1})^{3/2} - 2C_{1}(x + C_{1})^{1/2}\Bigr) + C_{2}.$$
Resposta
A solução geral é
com constantes arbitrárias C_{1},C_{2} e x>0.