A substituição v=y^prime transforma a EDO de segunda ordem da forma y^prime prime =f(x, y^prime) na EDO de primeira ordem dada por v^prime=f(x, v). Se a equação em v puder ser resolvida, a equação em y também será resolvida, integrando-se a solução v.
Utilize o método acima para resolver as equações diferenciais abaixo.
2 x^2 y^prime prime+(y^prime)^3=2 x y^prime, x>0.

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO de segunda ordem
2 x^{2} y’’ + (y’)^{3} = 2 x y’, x>0
utilizando a substituição v = y’. O conteúdo principal envolvido é a redução de ordem de EDO e a resolução de uma equação de Bernoulli, seguido de integração para obter y.

Passo 2

Fazendo v = y’ temos v’ = y’’ e substituímos na EDO:
2 x^{2} v’ + v^{3} = 2 x v
Dividindo por 2 x^{2} obtemos a EDO de primeira ordem em v:
v' = vx - v^32 x^2

Passo 3

Reescrevemos em forma padrão de Bernoulli:
dvdx - 1xv = -12 x^2v^3
Esta é uma equação de Bernoulli com expoente n = 3. Fazemos a troca u = v^{1-n} = v^{-2}. Calculamos:
$$u = v^{-2},
\quad \frac{du}{dx} = -2 v^{-3}\frac{dv}{dx}.$$

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da EDO original em v por -2 v^{-3} para obter uma equação linear em u:
-2 v^-3dvdx + 2xv^-2 = 1x^2
Ou seja:
dudx + 2xu = 1x^2
O fator integrante é
mu(x) = e^integral !2/x,dx = x^2
Multiplicando:
ddx(x^2u) = 1
Integramos:
x^2u = x + C1
Logo
u = x + C1x^2

Passo 5

Voltando a v, como u = v^{-2}, temos
1v^2 = x + C1x^2
Logo
v^2 = x^2x + C1,
portanto
v = y' = pm xraizx + C1,
onde C_{1} é constante arbitrária.

Passo 6

Agora integramos y’ = v para achar y. Tomando o sinal ± e outra constante C_{2} de integração:
y = pm integral xraizx + C1,dx + C2
Fazendo t = x + C_{1} ⇒ x = t - C_{1}, dx = dt:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x + C_{1}}},dx = \int \frac{t - C_{1}}{\sqrt{t}},dt
= \int t^{1/2},dt - C_{1}\int t^{-1/2},dt
= \frac{2}{3}t^{3/2} - 2 C_{1}t^{1/2} + C_{3}. integral xraizx + C1,dx = integral t - C1raizt,dt = integral t^1/2,dt - C1integral t^-1/2,dt = 23t^3/2 - 2 C1t^1/2 + C3y = \pm\Bigl(\frac{2}{3}(x + C_{1})^{3/2} - 2C_{1}(x + C_{1})^{1/2}\Bigr) + C_{2}.$$

Resposta

A solução geral é
y(x)=pml(tfrac23(x+C1)^3/2-2C1(x+C1)^1/2r)+C2,
com constantes arbitrárias C_{1},C_{2} e x>0.

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