Use o Teorema de Stokes para obter o fluxo do campo
através da superfície (aberta) S, i.e. calcule
e S é a porção do cone
com
e vetor normal apontando para baixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos calcular o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície
. A superfície
é a parte do cone definido por
no intervalo
, com o vetor normal apontando para baixo.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície aberta à integral de linha do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. Para resolver, precisamos seguir alguns passos:
- Encontrar a borda da superfície
. - Parametrizar essa borda.
- Calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo dessa borda.
Passo 2
Teorema de Stokes nos diz que:
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente sobre
, podemos calcular a integral de linha ao longo da borda de
, que chamaremos de
.
Passo 3
Vamos identificar a borda
da superfície
. A superfície
é a parte do cone
entre
e
.
No valor
, substituindo na equação do cone:
Isso nos dá um ponto, ou seja, a base inferior do cone é apenas o ponto
.
No valor
:
Portanto, a borda
é o círculo
no plano
.
Passo 4
Vamos parametrizar a borda
. Como é um círculo de raio 4 no plano
, podemos usar coordenadas polares:
O vetor posição fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor diferencial
:
Então,
Passo 6
Vamos substituir a parametrização na expressão do campo
:
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 8
A integral de linha fica então:
Podemos simplificar essa integral usando a identidade trigonométrica
:
Então,
Passo 9
Vamos calcular a integral:
A integral de
de 0 a
é zero, porque a função seno é periódica e suas áreas positivas e negativas se cancelam:
Portanto,
Resposta
O fluxo do rotacional do campo
através da superfície
é zero.