Use o Teorema de Stokes para obter o fluxo do campo rot(F) através da superfície (aberta) S, i.e. calcule
integral duplaS rot(F) cdot d S, onde F(x, y, z)=e^z x i-e^z y j+(x^2+y^2) k=(e^z x,-e^z y, x^2+y^2)
e S é a porção do cone z=raizx^2+y^2-3 com -3 <= z <= 1 e vetor normal apontando para baixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e queremos calcular o fluxo do rotacional desse campo através de uma superfície . A superfície é a parte do cone definido por no intervalo , com o vetor normal apontando para baixo.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície aberta à integral de linha do campo vetorial ao longo da borda dessa superfície. Para resolver, precisamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar a borda da superfície .
  2. Parametrizar essa borda.
  3. Calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo dessa borda.

Passo 2

Teorema de Stokes nos diz que:
integral duplaS rot(F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente sobre , podemos calcular a integral de linha ao longo da borda de , que chamaremos de .

Passo 3

Vamos identificar a borda -3 = raizx^2 + y^2 - 3 implies raizx^2 + y^2 = 0 implies x = 0, y = 0 da superfície 1 = raizx^2 + y^2 - 3 implies raizx^2 + y^2 = 4 implies x^2 + y^2 = 16 . A superfície é a parte do cone entre e .
No valor , substituindo na equação do cone:
Isso nos dá um ponto, ou seja, a base inferior do cone é apenas o ponto .
No valor :
Portanto, a borda é o círculo no plano .

Passo 4

Vamos parametrizar a borda x = 4 cos theta, y = 4 sin theta, z = 1, onde 0 <= theta < 2pi . Como é um círculo de raio 4 no plano r(theta) = (4 cos theta, 4 sin theta, 1) , podemos usar coordenadas polares:
O vetor posição fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de drdtheta = (-4 sin theta, 4 cos theta, 0) em relação a dr = (-4 sin theta, 4 cos theta, 0) dtheta , que nos dá o vetor diferencial :
Então,

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na expressão do campo F(x, y, z) = (e^z x, -e^z y, x^2 + y^2) :
F(theta) = (e^1 cdot 4 cos theta, -e^1 cdot 4 sin theta, (4 cos theta)^2 + (4 sin theta)^2) = (4 e cos theta, -4 e sin theta, 16)
Substituindo , , :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = (4 e cos theta)(-4 sin theta) + (-4 e sin theta)(4 cos theta) + (16)(0) = -16 e cos theta sin theta - 16 e sin theta cos theta = -32 e cos theta sin theta :

Passo 8

A integral de linha fica então:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -32 e cos theta sin theta , dtheta
Podemos simplificar essa integral usando a identidade trigonométrica -32 e cos theta sin theta = -16 e sin 2theta :
integral0^2pi -16 e sin 2theta , dtheta
Então,

Passo 9

Vamos calcular a integral:
-16 e integral0^2pi sin 2theta , dtheta
A integral de integral0^2pi sin 2theta , dtheta = 0 de 0 a -16 e cdot 0 = 0 é zero, porque a função seno é periódica e suas áreas positivas e negativas se cancelam:
Portanto,

Resposta

O fluxo do rotacional do campo através da superfície é zero.

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