Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x y^prime=y+2 raizx y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação x y' = y + 2 raizx y . Isso está na área de equações diferenciais, especificamente lidando com equações que envolvem derivadas e funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar substituições inteligentes e técnicas de resolução de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
x dydx = y + 2 raizx y
Vamos fazer uma substituição para facilitar o trabalho. Vamos definir v = raizy . Assim, y = v^2 .

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x :
dydx = 2 v dvdx
Substituindo isso na equação original:
x cdot 2 v dvdx = v^2 + 2 raizx cdot v

Passo 4

Dividindo ambos os lados por v (supondo v neq 0 ):
2 x dvdx = v + 2 raizx
Vamos reorganizar isso para deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dvdx - 12x v = raizxx

Passo 5

Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma dvdx + P(x) v = Q(x) , onde:
P(x) = -12x e Q(x) = raizxx
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) :
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^ -12 integral 1x dx = e^ -12 ln x = x^-1/2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x) = x^-1/2 :
x^-1/2 dvdx - 12x^3/2 v = 1x
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto v cdot x^-1/2 :
ddx ( v cdot x^-1/2 ) = 1x

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x :
v cdot x^-1/2 = integral 1x dx = ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para v :
v = x^1/2 (ln |x| + C)
Lembrando que v = raizy , temos:
raizy = raizx (ln x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x ( ln x + C )^2

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