Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
. Isso está na área de equações diferenciais, especificamente lidando com equações que envolvem derivadas e funções desconhecidas. Para resolver, vamos precisar usar substituições inteligentes e técnicas de resolução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Temos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar o trabalho. Vamos definir
. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(supondo
):
Vamos reorganizar isso para deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: