(a) Encontre a solução geral da e.d.o não homogênea y^prime prime+2 y^prime+y=x^2, y(0)=y^prime(0)=0.
(Resp: yG N H(x)=yG H+yp ; yG H=c1 e^-x+c2 x e^-x, yp=x^2-4 x+6.)
(b) Use a solução geral obtida no item (a) para encontrar a única solução do P.V.I: y^prime prime+ 2 y^prime+y=x^2, y(0)=y^prime(0)=0 [Resp: y(x)=x^2-4 x+6-6 e^-x-2 x e^-x].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + 2y' + y = x^2
em duas etapas:
– (a) encontrar a solução geral yGNH(x), usando a solução da homogênea e um particular pelo método dos coeficientes indeterminados;
– (b) impor as condições iniciais y(0)=y'(0)=0 para obter a solução única do problema de valor inicial.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
y''+2y'+y=0
temos o polinômio característico
r^2 + 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow;(r+1)^2=0;Longrightarrow;r=-1 (raiz dupla)
Logo a solução geral homogênea é
yGH(x)=c1 e^-x + c2,x,e^-x

Passo 3

Para achar um particular yp(x) use o palpite polinomial de grau 2,
yp(x)=A x^2 + B x + C
Então
yp'(x)=2A x + B, yp''(x)=2A
Substituindo em y''+2y'+y=x^2 obtém-se
2A + 2(2A x + B) + (A x^2 + B x + C) = A x^2 + (4A + B)x + (2A + 2B + C)
que deve ser igual a x^2 + 0x + 0. Comparando coeficientes:
A = 1, 4A + B = 0 ;Longrightarrow;B=-4, 2A + 2B + C = 0 ;Longrightarrow;2-8+C=0;Longrightarrow;C=6
Logo
yp(x)=x^2 - 4x + 6

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
yGNH(x)=yGH(x) + yp(x) = c1 e^-x + c2,x,e^-x + x^2 - 4x + 6

Passo 5

Agora impomos as condições y(0)=0 e y'(0)=0. Primeiro,
y(0)=c1 + 0 + (0-0+6)=c1+6=0;Longrightarrow;c1=-6
Em seguida, calcule
y'(x)=-c1 e^-x + c2 e^-x(1-x) + 2x -4,
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y'(0) = -(-6)cdot1 + c2cdot1 + 0 -4 = 6 + c2 -4 = c2 + 2 = 0 ;Longrightarrow;c2=-2

Resposta

(a) A solução geral é
yGH(x)=c1 e^-x + c2,x,e^-x, yp(x)=x^2 -4x +6, yGNH(x)=c1 e^-x + c2,x,e^-x + x^2 -4x +6
(b) Impondo y(0)=y'(0)=0 obtém-se c1=-6, c2=-2 e a solução do P.V.I. é
y(x)=x^2 -4x +6 -6e^-x -2x,e^-x

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