(2,0 pontos) Aplicando uma mudança de variáveis adequada, calcule a integral , onde a fronteira de é o trapézio com vértices e . Esboce as regiões de integração.
Boa Prova
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla sobre a região , que é um trapézio com vértices em , , e . Para facilitar, vamos usar uma mudança de variáveis adequada. Vamos precisar entender como fazer essa mudança e definir novos limites de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique o integrando . Observando o denominador , podemos escolher . Para simplificar o numerador, podemos definir . Assim, nossas novas variáveis serão e .
Passo 3
Agora, precisamos expressar [x) e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
Substituímos (x] na primeira equação:
Então, temos:
Passo 4
Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = -25, partial xpartial v = 15 partial ypartial u = 15, partial ypartial v = 25
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região transformada em termos de u e v. Observando os vértices do trapézio:
Para (-1,0):
u = 0 - 2(-1) = 2 v = 2(0) + (-1) = -1
Para (-2,0):
u = 0 - 2(-2) = 4 v = 2(0) + (-2) = -2
Para (0,4):
u = 4 - 2(0) = 4 v = 2(4) + 0 = 8
Para (0,2):
u = 2 - 2(0) = 2 v = 2(2) + 0 = 4
Então, a região R no sistema (u,v) é delimitada por u de 2 a 4 e, para cada u, v varia de -2 a 8, mas precisamos observar as interseções.
Após análise, os limites ficam:
2 <= u <= 4 -2 <= v <= 8
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral dupla usando as novas variáveis:
integral duplaR 2 y + xy - 2x , dA = integral duplaR' vu cdot |15| , du , dv = 15 integral duplaR' vu , du , dv
Passo 7
Integramos primeiro em u e depois em v:
15 integral-2^8 integral2^4 vu , du , dv = 15 integral-2^8 v ( ln |u| gr|2^4 ) , dv = 15 integral-2^8 v (ln 4 - ln 2) , dv = 15 ln 2 integral-2^8 v , dv