(2,0 pontos) Aplicando uma mudança de variáveis adequada, calcule a integral integral duplaR 2 y+xy-2 x d A, onde a fronteira de R é o trapézio com vértices (-1,0),(-2,0),(0,4) e (0,2). Esboce as regiões de integração.
Boa Prova

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR 2 y + xy - 2x , dA sobre a região R, que é um trapézio com vértices em (-1,0), (-2,0), (0,4) e (0,2). Para facilitar, vamos usar uma mudança de variáveis adequada. Vamos precisar entender como fazer essa mudança e definir novos limites de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique o integrando 2 y + xy - 2x. Observando o denominador y - 2x, podemos escolher u = y - 2x. Para simplificar o numerador, podemos definir v = 2y + x. Assim, nossas novas variáveis serão u = y - 2x e v = 2y + x.

Passo 3

Agora, precisamos expressar [x) e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
Substituímos (x] na primeira equação:
Então, temos:

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = -25, partial xpartial v = 15 partial ypartial u = 15, partial ypartial v = 25
Então,
J = (-25)(25) - (15)(15) = -425 - 125 = -525 = -15
O valor absoluto do Jacobiano é 15.

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região transformada em termos de u e v. Observando os vértices do trapézio:
Para (-1,0):
u = 0 - 2(-1) = 2 v = 2(0) + (-1) = -1
Para (-2,0):
u = 0 - 2(-2) = 4 v = 2(0) + (-2) = -2
Para (0,4):
u = 4 - 2(0) = 4 v = 2(4) + 0 = 8
Para (0,2):
u = 2 - 2(0) = 2 v = 2(2) + 0 = 4
Então, a região R no sistema (u,v) é delimitada por u de 2 a 4 e, para cada u, v varia de -2 a 8, mas precisamos observar as interseções.
Após análise, os limites ficam:
2 <= u <= 4 -2 <= v <= 8

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral dupla usando as novas variáveis:
integral duplaR 2 y + xy - 2x , dA = integral duplaR' vu cdot |15| , du , dv = 15 integral duplaR' vu , du , dv

Passo 7

Integramos primeiro em u e depois em v:
15 integral-2^8 integral2^4 vu , du , dv = 15 integral-2^8 v ( ln |u| gr|2^4 ) , dv = 15 integral-2^8 v (ln 4 - ln 2) , dv = 15 ln 2 integral-2^8 v , dv

Passo 8

Calculamos a integral em v:
integral-2^8 v , dv = v^22 |-2^8 = 8^22 - (-2)^22 = 642 - 42 = 32 - 2 = 30

Passo 9

Multiplicamos pelo fator 15 ln 2:
15 ln 2 cdot 30 = 6 ln 2

Resposta

O valor da integral é 6, ln,2.

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