Usar o método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular para as seguintes e.d.o de segunda ordem:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=e^3 xx^2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' - 6y' + 9y = e^3xx^2
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois aplicamos as fórmulas de variação dos parâmetros, que exigem o cálculo do Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 2

Resolva a equação característica da homogênea
r^2 - 6r + 9 = 0
que tem raiz dupla r=3. Logo as duas soluções lineares independentes são
y1 = e^3x, y2 = x,e^3x

Passo 3

Calcule o Wronskiano
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^3x & x e^3x [4pt] 3e^3x & (1+3x)e^3x = e^3x,(1+3x)e^3x - x e^3x,3e^3x = e^6x ]

Passo 4

Nas fórmulas de variação dos parâmetros, escrevemos f(x)=e^3x/x^2 e temos
u1' = -f(x),y2W = -dfrace^3xx^2;l(xe^3xr)e^6x = -x e^6xx^2 e^6x = -1x,
u2' = f(x),y1W = dfrace^3xx^2;e^3xe^6x = e^6xx^2 e^6x = 1x^2

Passo 5

Integre para encontrar u1 e u2:
u1 = integral u1',dx = integral l(-tfrac1xr),dx = -lnlvert xrvert,
u2 = integral u2',dx = integral tfrac1x^2,dx = -1x

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-lnlvert xrvertr)e^3x + l(-tfrac1xr)l(xe^3xr) = -e^3xlnlvert xrvert ;-; e^3x

Resposta

A solução particular obtida é
boxedyp(x) = -e^3xl(lnlvert xrvert + 1r)

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