Encontre a solução geral da E.D.O.
d yd x=4 x-x^34+y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx=4x - x^34+y^3
Isso é uma E.D.O. de primeira ordem e variável separável: podemos isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (4+y^3),dx:
(4+y^3),dy = (4x - x^3),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral(4+y^3),dy = integral(4x - x^3),dx
No lado esquerdo
integral4,dy = 4y, integral y^3,dy = y^44,
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integral(4+y^3),dy = 4y + y^44
No lado direito
integral4x,dx = 2x^2, integral(-x^3),dx = -x^44,
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integral(4x - x^3),dx = 2x^2 - x^44

Passo 4

Igualando as duas primitivas e adicionando a constante geral C, obtemos a solução implícita
4y + y^44 = 2x^2 - x^44 + C
Multiplicando tudo por 4 e reorganizando, uma forma equivalente é
y^4 + 16y + x^4 - 8x^2 = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

4y + y^44 = 2x^2 - x^44 + C,
ou, equivalentemente,
y^4 + 16y + x^4 - 8x^2 = C'

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