1. (2 y-2) d yd x=3 x^2+4 x+2, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2y-2),dydx=3x^2+4x+2
com condição inicial y(1)=-2. Isso é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(2y-2),dy = (3x^2+4x+2),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral (2y-2),dy = integral (3x^2+4x+2),dx
No lado esquerdo
integral(2y-2),dy = integral 2y,dy - integral 2,dy = y^2-2y,
e no direito
integral(3x^2+4x+2),dx = x^3+2x^2+2x + C
Logo a solução implícita é
y^2-2y = x^3+2x^2+2x + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=-2:
(-2)^2-2(-2) = 1^3+2cdot1^2+2cdot1 + C Longrightarrow 4+4 = 1+2+2 + C Longrightarrow 8 = 5 + C Longrightarrow C=3
Então a relação fica
y^2-2y = x^3+2x^2+2x + 3

Passo 5

Para obter y isolado, resolvemos a equação quadrática
y^2-2y - l(x^3+2x^2+2x+3r)=0
Usando a fórmula de Bhaskara,
y = 2 pm raiz4 +4(x^3+2x^2+2x+3)2 =1 pm raizx^3+2x^2+2x+4
Como queremos y(1)=-2, avaliamos em x=1: 1pmraiz9 4 ou -2. Escolhemos o sinal menos.

Resposta

y(x)=1 - raizx^3+2x^2+2x+4

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