Questão 1. Encontre a solução geral das EDLH dadas abaixo.
\begin{array}{rr}y^{\prime \prime}+y=0 \y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2, & y^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=-4\end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2, \quad y'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-4.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a y''+y=0:
r^2 + 1 = 0,
cuja solução é
r = \pm i.
Logo, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes a determinar.ã

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais em x = \tfrac{\pi}{3}:
y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2,
y'\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -C_{1}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) + C_{2}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -4.
Como \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12 e \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt3}{2}, obtemos o sistema
\frac12 C_{1} + \frac{\sqrt3}{2}C_{2} = 2, \quad -\,\frac{\sqrt3}{2}C_{1} + \frac12 C_{2} = -4.

Passo 5

Multiplicando cada equação por 2, fica
C_{1} + \sqrt3\,C_{2} = 4, \quad -\,\sqrt3\,C_{1} + C_{2} = -8.
Da primeira, C_{1}=4-\sqrt3\,C_{2}. Substituindo na segunda:
-\,\sqrt3\,(4-\sqrt3\,C_{2}) + C_{2} = -8 \;\Longrightarrow\; -4\sqrt3 + 3C_{2} + C_{2} = -8 \;\Longrightarrow\; 4C_{2} = 4\sqrt3 - 8 \;\Longrightarrow\; C_{2} = \sqrt3 - 2.
Então
C_{1} = 4 - \sqrt3\,(\sqrt3 - 2) = 4 - (3 - 2\sqrt3) = 1 + 2\sqrt3.

Resposta

y(x) = \bigl(1 + 2\sqrt3\bigr)\cos x \;+\;\bigl(\sqrt3 - 2\bigr)\sin x.

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