Considere a superfície S do paraboloide z=x^{2}+y^{2}, \operatorname{com} x^{2}+y^{2} \leq 4. Se a densidade (massa por unidade de área) em cada ponto (x, y, z) \in S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de S, calcule a massa total de S.

Passo 1

O enunciado descreve o paraboloide
S:\;z = x^{2}+y^{2},\quad x^{2}+y^{2}\le4
e pede a massa total de S quando a densidade em cada ponto (x,y,z) é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo z. O conteúdo é integral de superfície com densidade variável. Vamos precisar:
  1. Expressar a densidade em termos de x,y.
  2. Escrever o elemento de área dS do gráfico de z=f(x,y).
  3. Passar a coordenadas polares e calcular a integral dupla.

Passo 2

A distância de (x,y,z) ao eixo z é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Logo a densidade
\sigma(x,y) = \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2} = x^{2}+y^{2}\,.

Passo 3

Para o gráfico z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}, o elemento de área é
dS = \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}\;dA =\sqrt{1 + (2x)^{2} + (2y)^{2}}\;dA =\sqrt{1 + 4(x^{2}+y^{2})}\;dA.

Passo 4

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi, temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}, \quad dA = r\,dr\,d\theta, \quad\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{1+4r^{2}}.
Assim a massa é
M = \iint_{S}\sigma\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(r^{2}\bigr)\,\sqrt{1+4r^{2}}\;(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a integral em r por substituição u=1+4r^{2}, du=8r\,dr:
\int_{0}^{2}r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr = \frac{1}{32}\int_{u=1}^{17}(u-1)u^{1/2}\,du = \frac{1}{32}\int_{1}^{17}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Integrando,
\frac{1}{32}\Bigl[\tfrac{2}{5}u^{5/2}-\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{17} = \frac{1}{80}17^{5/2}-\frac{1}{48}17^{3/2}+\frac{1}{120}.

Passo 6

Multiplicando por \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi e simplificando com 17^{5/2}=289\sqrt{17}, 17^{3/2}=17\sqrt{17}, obtemos
M = 2\pi\Bigl(\frac{1}{80}17^{5/2}-\frac{1}{48}17^{3/2}+\frac{1}{120}\Bigr) = \frac{\pi}{60}\bigl(391\sqrt{17}+1\bigr).

Resposta

M = \frac{\pi}{60}\bigl(391\sqrt{17} + 1\bigr).

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