Considere a superfície
do paraboloide
,
. Se a densidade (massa por unidade de área) em cada ponto
é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de
, calcule a massa total de
.
Passo 1
O enunciado descreve o paraboloide
e pede a massa total de
quando a densidade em cada ponto
é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo
. O conteúdo é integral de superfície com densidade variável. Vamos precisar:
- Expressar a densidade em termos de
. - Escrever o elemento de área
do gráfico de . - Passar a coordenadas polares e calcular a integral dupla.
Passo 2
A distância de
ao eixo
é
. Logo a densidade
Passo 3
Para o gráfico
, o elemento de área é
Passo 4
Em coordenadas polares
,
, com
,
, temos
Assim a massa é
Passo 5
Calculemos a integral em
por substituição
,
:
Integrando,
Passo 6
Multiplicando por
e simplificando com
,
, obtemos