Encontre a solução geral da EDO:
Y^prime prime+Y^prime-6 Y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que é Y'' + Y' - 6Y = 0 . A matéria que a gente vai usar aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções características e usar essas soluções para montar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a EDO em uma equação característica. Isso é feito substituindo Y por e^rt , onde r é um número que vamos encontrar. Então, temos:
Y = e^rt implies Y' = re^rt implies Y'' = r^2 e^rt
Substituindo na EDO:
r^2 e^rt + r e^rt - 6 e^rt = 0

Passo 3

Agora, podemos dividir toda a equação por e^rt (que nunca é zero), ficando:
r^2 + r - 6 = 0
Essa é a nossa equação característica. Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r^2 + r - 6 = 0 , usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 1 e c = -6 . Substituindo:
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm raiz252 = -1 pm 52
Então, temos duas soluções para r :
r1 = -1 + 52 = 2 e r2 = -1 - 52 = -3

Passo 5

Como os valores de r são reais e distintos (não repetidos), a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada r . Assim, temos:
Y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^2t + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial Y'' + Y' - 6Y = 0 é:
Y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

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