Encontre a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que é
. A matéria que a gente vai usar aqui é sobre Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções características e usar essas soluções para montar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO em uma equação característica. Isso é feito substituindo
por
, onde
é um número que vamos encontrar. Então, temos:
Substituindo na EDO:
Passo 3
Agora, podemos dividir toda a equação por
(que nunca é zero), ficando:
Essa é a nossa equação característica. Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 5
Como os valores de
são reais e distintos (não repetidos), a solução geral da EDO é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada
. Assim, temos:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: