Resolva o PVI:
E calcule
E calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Além disso, queremos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, percebemos que ela é um trinômio perfeito. Podemos fatorar assim:
, o que nos dá uma raiz dupla:
.
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Usando a condição inicial
, substituímos
na solução geral:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda condição inicial
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Então,
.
Passo 7
Com
e
, a solução particular é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que, à medida que
cresce,
decai exponencialmente para zero, muito mais rápido que
cresce. Portanto, o limite é: