Resolva o PVI: Y^prime prime+2 Y^prime+Y=0
Y(0)=0, Y^prime(0)=2
E calcule lim T infty Y(T)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem a equação Y'' + 2 Y' + Y = 0 com as condições iniciais Y(0) = 0 e Y'(0) = 2. Além disso, queremos calcular o limite de Y(T) quando T tende ao infinito. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea Y'' + 2 Y' + Y = 0. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é r^2 + 2r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^2 + 2r + 1 = 0, percebemos que ela é um trinômio perfeito. Podemos fatorar assim: (r + 1)^2 = 0, o que nos dá uma raiz dupla: r = -1.

Passo 4

Com a raiz dupla r = -1, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Y(t) = (C1 + C2 t) e^-t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Usando a condição inicial Y(0) = 0, substituímos t = 0 na solução geral:
0 = (C1 + C2 cdot 0) e^0 Rightarrow 0 = C1
Portanto, C1 = 0.

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda condição inicial Y'(0) = 2. Primeiro, calculamos a derivada de Y(t):
Y'(t) = (C2) e^-t + (0 + C2 t)(-e^-t) = C2 e^-t - C2 t e^-t
Avaliando em t = 0:
2 = C2 e^0 - C2 cdot 0 cdot e^0 Rightarrow 2 = C2
Então, C2 = 2.

Passo 7

Com C1 = 0 e C2 = 2, a solução particular é:
Y(t) = 2 t e^-t

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite de Y(T) quando T tende ao infinito:
limT to infty Y(T) = limT to infty 2 T e^-T
Sabemos que, à medida que T cresce, e^-T decai exponencialmente para zero, muito mais rápido que T cresce. Portanto, o limite é:

Resposta

limT to infty Y(T) = 0

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