Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
Temos a EDO
. O conteúdo é séries de potências para EDO de segunda ordem, e vamos precisar da ideia de expandir
,
e
como séries em torno de
.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências
Então
Passo 3
Para somar tudo em potências de
, reindexamos
e o termo
. Temos
Passo 4
Substituindo em
e coletando
obtemos para todo
Isso gera as condições iniciais
Passo 5
E para
a relação de recorrência geral é
Passo 6
Como é uma EDO de segunda ordem, temos duas constantes livres
e
. Assim formam-se duas soluções lineares independentes: uma série par (com
) e uma ímpar (com
). A solução geral é combinação linear dessas duas séries.
Resposta
A solução geral em série de potências é
onde as coeficientes satisfazem
e
,
são constantes arbitrárias.