Encontre a solução geral da EDO abaixo utilizando série de potências.
y^prime prime+(1+x^2) y=0

Passo 1

Temos a EDO y''+(1+x^2)y=0. O conteúdo é séries de potências para EDO de segunda ordem, e vamos precisar da ideia de expandir y, y' e y'' como séries em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2

Passo 3

Para somar tudo em potências de x^n, reindexamos y'' e o termo x^2y. Temos
y''= sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n,
(1+x^2)y= sumn=0^inftyanx^n +sumn=0^inftyanx^n+2 =sumn=0^inftyanx^n+sumn=2^inftyan-2x^n

Passo 4

Substituindo em y''+(1+x^2)y=0 e coletando x^n obtemos para todo n>=0
(n+2)(n+1)an+2+an+an-2,&n>=2,0,&n=0,1=0
Isso gera as condições iniciais
2cdot1,a2+a0=0implies a2=-a02,
3cdot2,a3+a1=0implies a3=-a16,

Passo 5

E para n>=2 a relação de recorrência geral é
an+2=-an+an-2(n+2)(n+1)

Passo 6

Como é uma EDO de segunda ordem, temos duas constantes livres a0 e a1. Assim formam-se duas soluções lineares independentes: uma série par (com a1=0) e uma ímpar (com a0=0). A solução geral é combinação linear dessas duas séries.

Resposta

A solução geral em série de potências é
y(x)=Asumm=0^inftya2mx^2m+Bsumm=0^inftya2m+1x^2m+1,
onde as coeficientes satisfazem
a2=-tfraca02, a3=-tfraca16, an+2=-tfracan+an-2(n+2)(n+1) (n>=2),
e A=a0, B=a1 são constantes arbitrárias.

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