(1.0) Encontre a solução geral da EDO abaixo.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=2 e^2 t+3 sen(t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 2y' + 2y = 2e^2t + 3sin(t)
O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + 2y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0;Longrightarrow; r = -1 pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh = e^-tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo 2e^2t. Fazemos o palpite
yp1 = A e^2t
Então
yp1' = 2A e^2t, yp1'' = 4A e^2t,
e substituindo no lado esquerdo:
L[yp1] = 4A e^2t + 2cdot(2A e^2t) + 2cdot(A e^2t) = 10A e^2t
Igualando a 2e^2t obtemos 10A = 2, ou seja
A = tfrac15 Longrightarrow yp1 = tfrac15 e^2t

Passo 4

Para o termo 3sin t, tentamos
yp2 = Acos t + Bsin t
Calculando derivadas:
yp2' = -Asin t + Bcos t, yp2'' = -Acos t - Bsin t
Substituindo em y''+2y'+2y:
L[yp2] = (-Acos t - Bsin t) +2(-Asin t + Bcos t) +2(Acos t + Bsin t)
= (A + 2B)cos t +(-2A + B)sin t stackrel!=3sin t
Igualando coeficientes:
A + 2B = 0, -2A + B = 3
resolve em B = tfrac35, A = -tfrac65. Assim
yp2 = -tfrac65cos t + tfrac35sin t

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com as particulares:
y(t) = yh + yp1 + yp2 = e^-tl(C1cos t + C2sin tr) + tfrac15e^2t - tfrac65cos t + tfrac35sin t

Resposta

y(t) = e^-tl(C1cos t + C2sin tr) + 15e^2t - 65cos t + 35sin t

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