Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
(x−1)2dx−2ydy=0,

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
(x-1)^2,dx ;-;2y,dy ;=;0
Este é um caso de equação separável (ou exata simples), pois podemos agrupar todos os termos em x com dx e em y com dy. Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis levando os termos com x para um lado e os com y para o outro:
(x-1)^2,dx ;=;2y,dy

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral (x-1)^2,dx ;=;integral 2y,dy

Passo 4

Calcule as integrais:
integral (x-1)^2,dx = (x-1)^33 e integral 2y,dy = y^2 + C
Logo obtemos a forma implícita da solução geral:
(x-1)^33 = y^2 + C
Multiplicando tudo por 3 e absorvendo constantes, fica
(x-1)^3 ;-;3y^2 = K,
onde K é constante arbitrária.

Passo 5

Verificação: derive implicitamente
dl((x-1)^3 - 3y^2r) = 0 ;Longrightarrow; 3(x-1)^2,dx ;-;6y,dy = 0 ;Longrightarrow; (x-1)^2,dx - 2y,dy = 0,
que é exatamente a EDO original. Portanto a solução está correta.

Resposta

(x-1)^3 - 3y^2 = K, onde K é constante de integração.

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