Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
x2y′−xy=x3+4.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x^2y' - x y = x^3 + 4
e pede a solução geral e a verificação. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, usando fator integrante.

Passo 2

Dividimos a EDO por x^2 (admitindo xneq0) para colocá-la na forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
x^2y' - x yx^2 = x^3+4x^2 Longrightarrow y' - 1x,y = x + 4x^2

Passo 3

Identificamos P(x)=-tfrac1x. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x, obtendo
1xy' - 1x^2y = 1 + 4x^3
O lado esquerdo é a derivada de y/x, pois
l(tfracyxr)' = x,y' - yx^2 = 1xy' - 1x^2y
Logo
l(tfracyxr)' = 1 + 4x^3
Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integral 1,dx + integral 4x^-3,dx = x + 4cdotx^-2-2 + C = x - 2x^-2 + C

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = xl(x - 2x^-2 + Cr) = x^2 - 2x + Cx,
que é a solução geral.

Passo 6

Verificamos substituindo y(x)=x^2 - 2/x + Cx na EDO original. Primeiro
y'(x) = 2x + 2x^-2 + C
Então
x^2y' - x y = x^2l(2x + 2x^-2 + Cr) - xl(x^2 - 2x^-1 + Cxr)
Calculando:
x^2y' = 2x^3 + 2 + Cx^2, x y = x^3 - 2 + Cx^2,
logo
x^2y' - x y = (2x^3 + 2 + Cx^2) - (x^3 - 2 + Cx^2) = x^3 + 4,
que confere com o lado direito da EDO.

Resposta

y(x) = x^2 - 2x + Cx, CinR

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