Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
x2y′−xy=x3+4.
x2y′−xy=x3+4.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede a solução geral e a verificação. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, usando fator integrante.
Passo 2
Dividimos a EDO por
(admitindo
) para colocá-la na forma padrão
:
Passo 3
Identificamos
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Logo
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Isolando
, obtemos
que é a solução geral.
Passo 6
Verificamos substituindo
na EDO original. Primeiro
Então
Calculando:
logo
que confere com o lado direito da EDO.