Verifique que EDO
e exata, encontre uma integral primeira e a solução geral (em forma implicita).
(x+y/(x2+y2))dx + (y - x/(x2+y2))dy = 0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
l(x + yx^2+y^2r),dx + l(y - xx^2+y^2r),dy = 0
e pede para verificar que é exata, encontrar uma integral-primeira e, assim, a solução geral implícita. Vamos usar o critério de exatidão e o método do potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x + yx^2+y^2, N(x,y) = y - xx^2+y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0 + (x^2+y^2)cdot1 - ycdot2y(x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2,
partial Npartial x = 0 - (x^2+y^2)cdot1 - xcdot2x(x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2+y^2)^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integrall(x + yx^2+y^2r),dx = x^22 + yintegraldxx^2+y^2 = x^22 + arctan!l(xyr) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial phipartial y = N(x,y)
Calculamos
partialpartial yl[x^22 + arctan!l(xyr) + h(y)r] = 0 + l(-xx^2+y^2r) + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=y - tfracxx^2+y^2. Daí
-xx^2+y^2 + h'(y) = y - xx^2+y^2 Longrightarrow h'(y)=y Longrightarrow h(y)=y^22

Passo 5

Substituindo h(y) em phi, obtemos a integral-primeira
phi(x,y) = x^22 + y^22 + arctan!l(xyr) = C,
que é a solução geral da EDO em forma implícita.

Resposta

boxedx^2+y^22 + arctan!l(xyr) = C

Exercícios relacionados