Verifique que EDO
e exata, encontre uma integral primeira e a solução geral (em forma implicita).
(x+y/(x2+y2))dx + (y - x/(x2+y2))dy = 0
e exata, encontre uma integral primeira e a solução geral (em forma implicita).
(x+y/(x2+y2))dx + (y - x/(x2+y2))dy = 0
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede para verificar que é exata, encontrar uma integral-primeira e, assim, a solução geral implícita. Vamos usar o critério de exatidão e o método do potencial.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Calculamos
e igualamos a
. Daí
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a integral-primeira
que é a solução geral da EDO em forma implícita.