Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
.
Passo 1
A questão pede a solução da EDO
com condição inicial
. Esse é um caso de equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos na forma padrão
, identificando
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Como
, resulta
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
, obtendo
Aqui usamos que
.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Para
aplicamos integração por partes com
,
, obtendo
Logo
Passo 6
Isolando
, multiplicamos por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Em
temos
e
, então
Substituindo, obtemos a solução particular.
Passo 8
A solução geral que satisfaz a condição inicial é
Resposta
y(x) = -x\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) + 2\cos(x)