Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y^prime+y tg(x)=x sen(x) cos (x), com y(0)=2.

Passo 1

A questão pede a solução da EDO y'+ytan(x)=xsin(x)cos(x) com condição inicial y(0)=2. Esse é um caso de equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos na forma padrão y'+P(x)y=Q(x), identificando P(x)=tan(x) e Q(x)=xsin(x)cos(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral tan(x),dx
Como integral tan(x),dx=-ln|cos(x)|, resulta
mu(x)=e^-ln|cos(x)|=1cos(x)=sec(x)

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(x), obtendo
l(ysec(x)r)'=sec(x),Q(x)=sec(x),xsin(x)cos(x)=xsin(x)
Aqui usamos que sec(x)cos(x)=1.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral dl(ysec(x)r)=integral xsin(x),dx
Para integral xsin(x),dx aplicamos integração por partes com u=x, dv=sin(x),dx, obtendo
integral xsin(x),dx=-xcos(x)+integralcos(x),dx=-xcos(x)+sin(x)+C
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ysec(x)=-xcos(x)+sin(x)+C

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por cos(x):
y(x)=cos(x)l(-xcos(x)+sin(x)+Cr)= -xcos^2(x)+sin(x)cos(x)+Ccos(x)

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Em x=0 temos sin(0)=0 e cos(0)=1, então
y(0)=C=2
Substituindo, obtemos a solução particular.

Passo 8

A solução geral que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-xcos^2(x)+sin(x)cos(x)+2cos(x)

Resposta

y(x) = -x\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) + 2\cos(x)

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