Considere dois triângulos
e
em que
, o ângulo
é o dobro do ângulo
e além disso a área do triângulo
é o dobro da área do triângulo
. Calcule o cosseno do ângulo
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Temos dois triângulos ABC e DEF tais que AB = DE, AC = DF, o ângulo EDF é o dobro do ângulo BAC e a área de ABC é o dobro da área de DEF. O conteúdo aqui é área de triângulos usando dois lados e o seno do ângulo entre eles, além de identidade de ângulo duplo para o seno.
Passo 2
Expressão das áreas e definição de θ: Seja θ =
. As áreas são dadas por
Como AB = DE e AC = DF, só teremos razões envolvendo senos.
Passo 3
Relação entre áreas e uso da identidade de ângulo duplo: Pela condição
, temos
Usando
, reescrevemos
Passo 4
Resolução para
: Da equação
segue
Portanto, o cosseno do ângulo
é
.