Considere dois triângulos ABC e DEF em que AB=DE, AC=DF, o ângulo E widehatD F é o dobro do ângulo B widehatA C e além disso a área do triângulo ABC é o dobro da área do triângulo DEF. Calcule o cosseno do ângulo B widehatA C.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos dois triângulos ABC e DEF tais que AB = DE, AC = DF, o ângulo EDF é o dobro do ângulo BAC e a área de ABC é o dobro da área de DEF. O conteúdo aqui é área de triângulos usando dois lados e o seno do ângulo entre eles, além de identidade de ângulo duplo para o seno.

Passo 2

Expressão das áreas e definição de θ: Seja θ = widehatBAC. As áreas são dadas por
Área(ABC) = tfrac12,ABcdot AC,sintheta Á
Área(DEF) = tfrac12,DEcdot DF,sin(2theta) Á
Como AB = DE e AC = DF, só teremos razões envolvendo senos.

Passo 3

Relação entre áreas e uso da identidade de ângulo duplo: Pela condição Área(ABC)=2,Área(DEF)ÁÁ, temos
Área(ABC)Área(DEF)=sinthetasin(2theta)=2 ÁÁ
Usando sin(2theta)=2sinthetacostheta, reescrevemos
sintheta2sinthetacostheta=12costheta=2

Passo 4

Resolução para costheta: Da equação 1/(2costheta)=2 segue
2costheta=tfrac12
costheta=tfrac14
Portanto, o cosseno do ângulo BwidehatAC é 1/4.

Resposta

tfrac14

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