Exemplo. Resolva o problema
ut t=ux x & se 00 u(0, t)=u(pi, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=0 & se 0 <= x <= pi ut(x, 0)=sen x & se 0 <= x <= pi

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação de onda utt=uxx em 0, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=sin x. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier nos modos normais do operador espacial.

Passo 2

Pela separação de variáveis e na base de autovetores sin(nx), a solução geral satisfazendo as condições de contorno é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx)
Aqui os autovalores são lambdan=n^2 e as frequências omegan=n.

Passo 3

Aplicando a condição inicial de deslocamento u(x,0)=0, temos
0=sumn=1^infty Ansin(nx),
que, pela independência linear dos senos, implica An=0 para todo n.

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial de velocidade:
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn nsin(nx)=sin x
Para encontrar Bn, projetamos ambos os lados em sin(nx):
Bn n=2piintegral0^pi sin xsin(nx),dx
Esse integral é zero para nneq1 e vale pi/2 para n=1, logo B1=1 e Bn=0 para n>1.

Passo 5

Substituindo de volta, só o modo n=1 permanece. Assim obtemos
u(x,t)=sin t,sin x

Resposta

u(x,t)=sin t,sin x

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