Calcule a integral dupla integralegral duplaR(x^2+2 y) d x d y, onde R é o círculo x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla do tipo integral duplaR(x^2+2 y) dx dy, onde a região R é um círculo definido por x^2 + y^2 <= 4. Isso envolve cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Vamos usar conceitos de cálculo integral, mudança para coordenadas polares e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. O círculo x^2 + y^2 <= 4 tem raio 2 e está centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. O diferencial de área dx dy vira r dr dtheta.

Passo 3

Substituindo x e y em termos de r e theta, a integral fica:
integral duplaR(x^2+2 y) dx dy = integral0^2pi integral0^2 ((r costheta)^2 + 2 (r sintheta)) r dr dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r costheta)^2 = r^2 cos^2theta 2 (r sintheta) = 2 r sintheta
Então, a integral se torna:
integral0^2pi integral0^2 (r^2 cos^2theta + 2 r sintheta) r dr dtheta = integral0^2pi integral0^2 (r^3 cos^2theta + 2 r^2 sintheta) dr dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a r primeiro:
Para o primeiro termo:
integral0^2 r^3 cos^2theta dr = cos^2theta integral0^2 r^3 dr = cos^2theta [r^44]0^2 = cos^2theta (164) = 4 cos^2theta
Para o segundo termo:
integral0^2 2 r^2 sintheta dr = 2 sintheta integral0^2 r^2 dr = 2 sintheta [r^33]0^2 = 2 sintheta (83) = 163 sintheta

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral em theta:
integral0^2pi (4 cos^2theta + 163 sintheta) dtheta = 4 integral0^2pi cos^2theta dtheta + 163 integral0^2pi sintheta dtheta

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para integral0^2pi cos^2theta dtheta, usamos a identidade cos^2theta = 1 + cos2theta2:
4 integral0^2pi 1 + cos2theta2 dtheta = 2 integral0^2pi (1 + cos2theta) dtheta = 2 [theta + sin2theta2]0^2pi = 2 (2pi - 0) = 4pi
Para integral0^2pi sintheta dtheta:
163 [-costheta]0^2pi = 163 (-cos2pi + cos0) = 163 (-1 + 1) = 0

Resposta

Somando tudo, a integral dupla é igual a 4pi. Portanto,
integral duplaR(x^2+2 y) dx dy = 4pi

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