Calcule a integral dupla
, onde
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla do tipo
, onde a região
é um círculo definido por
. Isso envolve cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Vamos usar conceitos de cálculo integral, mudança para coordenadas polares e propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O círculo
tem raio
e está centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. O diferencial de área
vira
.
Passo 3
Substituindo
e
em termos de
e
, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para
, usamos a identidade
:
Para
:
Resposta
Somando tudo, a integral dupla é igual a
. Portanto,