Encontre a solução geral da EDO homogênea de 1ª ^a ordem:
y^prime=x+y2 x

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
de tipo homogêneo dada por
dydx=x+y2x
O conteúdo aqui são equações homogêneas de 1ª ordem e vamos usar a substituição
y=vx para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo a substituição y=vx temos
dydx=v + xdvdx
No lado direito,
x+y2x=x+vx2x=12+ v2
Então a ODE vira
v + xdvdx=12+ v2

Passo 3

Isolando dv/dx:
xdvdx=12+ v2 - v=1-v2
Isso é uma equação separável em v e x:
dv1-v=dx2x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integraldv1-v=integraldx2x
No lado esquerdo obtemos
-ln|1-v|
e no direito
tfrac12ln|x|+C1
Logo
-ln|1-v|=tfrac12ln|x|+C1

Passo 5

Reescrevendo e voltando a y:
ln|1-v|=-tfrac12ln|x|+C2
1-v=Cx^-1/2
Como v=y/x,
y= xl(1 - Cx^-1/2r)=x - Cx^1/2
Renomeando a constante ( Cto -C), a solução geral fica
y=x+Cx^1/2

Resposta

y=x+Craizx

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