Encontre a solução geral da EDO linear de 1 a ordem de valor inicial dado:
y^prime+2 t y & =e^-t^2 y(0) & =-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' + 2ty = e^-t^2,
com condição inicial y(0) = -1. O conteúdo aqui é equação diferencial linear e vamos precisar usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = e^integral 2t,dt = e^t^2
Multiplicando a equação original por e^t^2 obtemos o formato de derivada de produto:
e^t^2y' + 2t,e^t^2y = 1
que é
ddtl(e^t^2yr) = 1

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^t^2yr),dt = integral 1,dt
ou seja
e^t^2y = t + C
Dessa forma, a solução geral é
y(t) = t,e^-t^2 + C,e^-t^2

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo t=0 na expressão geral:
y(0) = 0 cdot e^0 + C,e^0 = C = -1
Logo C = -1.

Resposta

y(t) = (t - 1),e^-t^2

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