Encontre a solução geral da EDO exata de 1́a ordem:
Passo 1
O enunciado pede pra achar a solução geral da EDO de primeira ordem exata (ou tentar torná-la exata):
O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e, de cara, vamos testar se ela é exata e, em seguida, reconhecer que é homogênea e usar a substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a EDO não é exata à primeira vista.
Passo 3
Percebemos que tanto
quanto
são homogêneas de grau 3 em
. Isso sugere a substituição de variáveis para equações homogêneas: definimos
Passo 4
Substituímos na equação original:
fica
Passo 5
Ao expandir e reunir termos de
e
, obtemos
Dividindo por
$$2v^2,dx + x(1+v),dv = 0.
$$
Passo 6
Reorganizamos para separar variáveis:
$$\frac{dx}{x} = -\frac{1+v}{2v^2},dv.
$$
Agora sim é uma equação separável.
Agora sim é uma equação separável.
Passo 7
Integramos os dois lados:
$$\int \frac{dx}{x} = \int -\frac{1+v}{2v^2},dv.
Passo 8
Igualando e reorganizando (e trocando a constante por outra
), temos
$$\ln|x| = \frac1{2v} - \frac12\ln|v| + C.
Passo 9
Voltando à variável original
, observe que
$$2\ln|x| + \ln\Big|\frac yx\Big| = \ln|x^2| + \ln\Big|\frac yx\Big| = \ln|xy|.
$$
E como , a solução implícita final fica
E como
Passo 10
final_answer