Encontre a solução geral da EDO exata de 1́a ordem:
(x y^2-x^2 y) d x+(x+y) x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede pra achar a solução geral da EDO de primeira ordem exata (ou tentar torná-la exata):
(xy^2 - x^2y)dx + (x+y)x^2dy = 0
O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e, de cara, vamos testar se ela é exata e, em seguida, reconhecer que é homogênea e usar a substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções
M(x,y) = xy^2 - x^2y, N(x,y) = x^3 + x^2y
Calculamos as derivadas parciais:
My = 2xy - x^2, Nx = 3x^2 + 2xy
Como My neq Nx, a EDO não é exata à primeira vista.

Passo 3

Percebemos que tanto M quanto N são homogêneas de grau 3 em (x,y). Isso sugere a substituição de variáveis para equações homogêneas: definimos
y = vx implies dy = v,dx + x,dv

Passo 4

Substituímos na equação original:
(xy^2 - x^2y)dx + (x+y)x^2(dy)=0
fica
(x (v x)^2 - x^2(vx))dx + (x+vx)x^2(v,dx + x,dv)=0

Passo 5

Ao expandir e reunir termos de dx e dv, obtemos
2x^3v^2,dx + x^4(1+v),dv = 0
Dividindo por x^3 (supondo xneq0) dá
$$2v^2,dx + x(1+v),dv = 0.
$$

Passo 6

Reorganizamos para separar variáveis:
$$\frac{dx}{x} = -\frac{1+v}{2v^2},dv.
$$
Agora sim é uma equação separável.

Passo 7

Integramos os dois lados:
$$\int \frac{dx}{x} = \int -\frac{1+v}{2v^2},dv.
integral dxx = integral -1+v2v^2,dv -\tfrac12\int \Big(v^{-2} + v^{-1}\Big)dv = -\tfrac12(-v^{-1} + \ln|v|) = \tfrac1{2v} - \tfrac12\ln|v| + C.$$

Passo 8

Igualando e reorganizando (e trocando a constante por outra C), temos
$$\ln|x| = \frac1{2v} - \frac12\ln|v| + C.
ln|x| = 12v - 12ln|v| + C 2\ln|x| + \ln|v| - \frac1v = C’.$$

Passo 9

Voltando à variável original v = y/x, observe que
$$2\ln|x| + \ln\Big|\frac yx\Big| = \ln|x^2| + \ln\Big|\frac yx\Big| = \ln|xy|.
$$
E como 2ln|x| + ln| yx| = ln|x^2| + ln| yx| = ln|xy| , a solução implícita final fica

Passo 10

final_answer

Passo 11

ln|xy| - xy = C

Resposta

ln|xy| - xy = C

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