Encontre a solução geral da EDO separável de 1^a ordem:
y^prime=e^2 t+ye^t-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de primeira ordem separável
y' = e^2t+ye^t-y. Vamos usar separação de variáveis e integração de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro simplificamos a razão de exponenciais:
y' = e^2t + ye^t - y = e^2t + y - (t - y) = e^t + 2y

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro:
dydt = e^te^2y Longrightarrow e^-2y,dy = e^t,dt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral e^-2y,dy = integral e^t,dt Longrightarrow -tfrac12 e^-2y = e^t + C,

Passo 5

Por fim, isolamos e^-2y em função de t, redefinindo a constante como C1 = -2C:
e^-2y = C1 - 2e^t

Resposta

y(t) = -tfrac12 lnl(C1 - 2e^tr), onde C1 é constante arbitrária.

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