Encontre a solução geral da EDO exata de 1 ^a ordem de valor inicial dado:
(9 t^2+y-1) d t & -(4 y-t) d y=0 y(1) & =0

Passo 1

Aqui vamos resolver a EDO exata (9t^2+y-1),dt - (4y-t),dy = 0 com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos testar a exatidão e achar uma função potencial phi(t,y) tal que dphi = M,dt + N,dy.

Passo 2

Identificamos as funções M(t,y) = 9t^2 + y - 1 e N(t,y) = t - 4y. Calculamos
partial Mpartial y = 1
e
partial Npartial t = 1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar phi(t,y), integramos M em relação a t:
phi(t,y) = integral (9t^2 + y - 1),dt = 3t^3 + yt - t + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a N temos:
phiy = t + h'(y) = t - 4y implies h'(y) = -4y implies h(y) = -2y^2
Logo
phi(t,y) = 3t^3 + yt - t - 2y^2

Passo 4

A solução geral implícita é
3t^3 + yt - t - 2y^2 = C
Usando y(1)=0 obtemos
3cdot1^3 + 1cdot0 - 1 - 0 = 2 implies C = 2

Resposta

3t^3 + yt - t - 2y^2 = 2

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