Encontre a solução geral da EDO separável de 1^a ordem de valor inicial dado:
y^prime & =3 t^2-e^t2 y-5 y(0) & =1

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO separável de primeira ordem
Temos
y(0)=1
com condição inicial . Para achar a solução geral, vamos separar as variáveis e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por (2y - 5),dt e obtemos:
(2y - 5),dy = (3t^2 - e^t),dt
Assim cada lado depende só de uma variável.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
No lado de y:
integral (2y - 5),dy = integral 2y,dy - 5integral dy = y^2 - 5y
No lado de t:
integral (3t^2 - e^t),dt = integral 3t^2,dt - integral e^t,dt = t^3 - e^t
Logo a solução implícita é
y^2 - 5y = t^3 - e^t + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0 e y=1 em
1^2 - 5cdot1 = 0^3 - e^0 + C
o que dá
-4 = -1 + C implies C = -3

Passo 5

A solução implícita fica
y^2 - 5y = t^3 - e^t - 3
Para obter y explicitamente, resolvemos essa equação quadrática em y:
y = 5 pm raiz25 + 4(t^3 - e^t - 3)2 = 5 pm raiz4t^3 - 4e^t + 132
Como queremos y(0)=1, escolhemos o sinal “−” (pois (5 - 3)/2 = 1).

Resposta

y(t) = 5 - raiz4t^3 - 4e^t + 132

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